余弦定理的由来

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1、根据余弦定理，AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BCcosB,(1)

AC^2=AD^2+CD^2-2AD*CD*cosD,(2)

<B+<D=180度（圆内接四边形对角互补），

cosB=-cosD,

(1)+(2),

cosB=1/2,<B=60度，<D=120度，

△ABC=AB*BC*sin60°/2=6√3（万米^2）,

S△ADC=AD*CD*sin120°/2=2√3（万米^2）,

总面积=8√3（万米^2）,

用余弦定理求出AC=2√7（万米），

根据正弦定理，2R=AC/sinA,R=2√21/3(万米）,

2、三角形ADC不变，要使三角形APC有最大面积，则底AC不变，则高最大时面积最大，即通过圆心的高最大，此时三角形APC是等腰三角形，AP=PC，

设AC上的高为PQ，圆心O，

OQ^2=AO^2-AQ^2，OQ=√21/3，

PQ=R+OQ=√21/3+2√21/3=√21，

S△APC=AC*PQ/2=7√3，

S四边形APCD=S△APC+S△ADC=9√3（平方万米）。?

补充简单方法：〈APC=〈ABC=60度，（同弧圆周角相等），

故三角形APC是等边三角形，AP=PC=2√7，

S△APC=2√7*2√7*sin60°/2=7√3，

S四边形APCD=S△APC+S△ADC=9√3（平方万米）。

来源见下面：

在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

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